Projekt: Die Mandelbrot - Dimension

mandel

6.1.98
Dieses Projekt wurde erarbeitet von Robert Rost und Martin Nickel, Kurs 13, bei dem Fachleherer für Informatik Herrn Böttcher.Mit unserer Arbeit haben wir die Absicht gehabt eine Einführung in die abstrakte und fraktale Dimension zu erstellen anhand von drei Beispielen: Die Mandelbrotmenge, Juliamenge und das Feigenbaummodell.
Letzteres wurde benannt nach dem Physiker Mitchell Feigenbaum (1945-),

fei


der sich in den siebziger Jahren mit der Periodenverdoppelung quadratischer Funktionen beschäftigte.Dies ist der Feigenbaum :

iterates


In diesem Zusammenhang seien noch die universellen Feigenbaumkonstanten erwähnt:

kons


Sie ergeben sich aus einem Grenzprozeß bezüglich des Verhältnisses der Bifurkationspunkte bzw. bezüglich der kleinsten Abstände eines Orbits.
Bei unserer Entwicklung dieses Projektes in der Hoffnung auf eine brauchbare Lösung und Darstellung der Aufgabe, stießen wir auf verschiedene Probleme. Zum Beispiel hatten wir Probleme unsere sowohl in Java, als auch in Turbo Pascal geschriebenen Programme ordnungsgemäß zum "Laufen" zu bringen mit einer visuell sichtbaren Graphikausgabe.Mittlerweile sollte das Problem gelöst sein und das Programm sollte laufen. Ein anderes viel Merkwürdigeres Problem,das erst nach sehr langer Bearbeitung dieser Web-Page zutage trat war das Unterschiedliche Ausgabeformat je nachdem, welchen Browser wir benutzt hatten um diese Seite zu bearbeiten. Im Moment ist diese Seite in ihrem Format auf den Internet Explorer eingestellt, so daß es am besten wäre diesen zu benutzen. Sollte der User allerdings keine andere Möglichkeit als z.B. Netscape haben, so bitten wir um Entschuldigung für die teils unharmonische Anordnung der Links bzw. Icons.

Wie unten noch einmal angeführt befindet sich das geforderte Ablaufprotokoll direkt am Java-Programm Mandelbrot.java. Zuletzt sei noch erwähnt, daß wir unsere Informationen und Programmtexte zusammengestellt und bearbeitet haben auf dem Hintergrundwissen folgender Bücher:
"Informatik für die Sekundarstufe II" Band 1 von Klett
"Java 1.1 : schnell und sicher zum Ziel" von Paul Schulz
"Java : Objektorientiert programmieren für das WWW" von Oliver Bouchard

Zudem mußten wir auch auf die Informationsquelle des Internets zurückgreifen. Jetzt wo die Formalitäten endgültig geklärt sind , können wir in die tieferen Details gehen :
Wichtig für die Erfassung des fraktalen Gedanken ist der Begriff der Dimension. Die Spur der Brownschen Bewegung, die ein Teilchen hinterläßt, kann man aufzeichnen, indem man aufeinanderfolgende Positionen markiert und sie durch physikalisch irreale Strecken verbindet (d.h. die Strecken haben physikalisch keine Bedeutung). Beobachtet man dieses Verhalten nur lange genug und mit hinreichender Genauigkeit, so füllt diese Spur schließlich die ganze Ebene aus. Es drängt sich hier unweigerlich der Gedanke auf, daß diese sonderbare Kurve in gewissem Sinne die Dimension einer Ebene hat. "Topologisch" gesehen hat die Kurve die Dimension eins. Da sie jedoch praktisch die Ebene ausfüllt, ist sie fraktal von der Dimension zwei.

Man sieht, daß die Definition einer Dimension ausschließlich über die Anzahl der Koordinaten keine befriedigende Lösung ergibt. Mandelbrot (1977) dachte deshalb über geeignete Definitionen nach. Er unterscheidet zwei Definitionen, die beide jeder Menge des Euklidischen Raumes eine reelle Zahl zuordnen, nämlich die topologische Dimension und die Hausdorff-Besicovitsch-Dimension D. Im üblichen Euklidischen Raum ist sowohl als auch D nicht kleiner als Null und höchstens gleich E. Im Unterschied zu ist D nicht immer eine ganze Zahl. und D stimmen also nicht notwendigerweise überein. Sie genügen immer der Szpilrajn-Ungleichung: . Da es zunächst keinen Begriff gab, der diese Mengen bezeichnete, definierte Mandelbrot das Fraktal: '' Ein Fraktal ist nach Definition eine Menge, deren Hausdorff-Besicovitsch-Dimension echt die topologische Dimension übersteigt ().'' Mandelbrot nennt D eine Fraktale Dimension.

Wichtig für den Zusammenhang zwischen den Fraktalen und der powerspektralen Untersuchung in dieser Arbeit ist das Verständnis der Selbstähnlichkeit. Die Euklidische Geometrie beginnt mit den einfachsten Formen, wie Geraden, Ebenen oder Räumen. Hierbei entsteht die einfachste Physik, wenn eine gewisse Größe (Dichte, Temperatur, Geschwindigkeit,...) auf homogene Art und Weise im jeweiligen System verteilt ist. Diese homogene Verteilung hat nun zwei Eigenschaften: die Invarianz gegenüber Verschiebungen und die Invarianz gegenüber Maßstabsänderungen. Beim Übergang zu Fraktalen muß die Invarianz modifiziert werden bzw. in ihrem Spielraum eingeschränkt sein. Die besten Fraktale sind gerade solche, die ein Höchstmaß an Invarianz zeigen (Mandelbrot, 1982).

Obwohl sich die verschiedenen Teile einer Brownschen Spur niemals exakt übereinanderlegen lassen, ist es doch in statistischem Sinne möglich. Viele Fraktale sind also in einem bestimmten Maße invariant gegenüber Verschiebungen. Fraktale, die gegenüber Maßstabsänderungen invariant sind, werden skaleninvariant genannt. '' Ein Fraktal, das invariant ist gegenüber der üblichen geometrischen Ähnlichkeit, heißt selbstähnlich bzw. self-similar'' (Mandelbrot, 1977).


Biographie über Hr. Mandelbrot
Biographie über Hr. Julia
Zus. Erläuterung zum Mandelbrot
Mandelbrotprogramm in Turbo Pascal
Die Henonkurve in Turbo Pascal
Die erste Version der Juliakurve - Invers
Die zweite Version der Juliakurve - nach der Abtastmethode
Apfelmännchen in Java mit professionellem Kommentar
Zuletzt noch eine Gallerie

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